Las dos ondas transversales, después de reflejarse en los extremos de la cuerda, viajan en sentido opuesto, ambas con la misma amplitud y frecuencia, pero posiblemente desfasadas en una constante j . Por tanto, la ecuación resultante es: 

 y ( x, t ) = A sen [2p F t - k x ] + A sen [2p F t + k x + j ]

Podemos aplicar ahora una igualdad trigonométrica conocida como "suma de senos":

El resultado es:

 y ( x, t ) = 2A sen [2p F t + j / 2]  cos [- k x - j / 2]

Ahora bien, en la cuerda de longitud L, no es posible la vibración en los extremos fijos. Esto establece las condiciones iniciales a las que se debe someter la ecuación anterior.

Así, cuando x = 0  y cuando  x = L, la elongación tiene que ser cero cualquiera que sea el valor de t. Esto sólo ocurrirá si:

  cos [- k 0 - j / 2]= 0  y  cos [- k L - j / 2]= 0. 

De la primera igualdad, se deduce que  j = p  (es decir, la ondas transversales han de estar desfasadas 180º), y de la segunda se deduce que  k L = np , donde n es cualquier número entero. 

Recordando que k (número de onda) era igual a la expresión 2p / l , deducimos que:

 l= 2L / n

y, como  l = v / F, también tenemos que:

 F = nv / 2L 

Así que la longitud de onda de cada armónico (modo natural de vibración de la cuerda) está determinada exclusivamente por la longitud de la cuerda. 

Además, la frecuencia de cada armónico depende únicamente de la longitud de la cuerda y de la velocidad de propagación de la onda transversal en la misma.